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「フカシギの数え方」の問題を解いてみた

先日、「『フカシギの数え方』 おねえさんといっしょ! みんなで数えてみよう!」という動画を見た。格子状のマスの左上から右下までの経路が何通りあるのかを調べて、格子が多くなればなるほど組み合わせの数が爆発的に増えることを教えてくれる動画だ。これは自己回避歩行(Self-avoiding walk)と呼ばれている問題らしい。

これだけ聞いてもそれほどインパクトはないのだが、動画に出てくるおねえさんの経路を調べあげる執念がもの凄く、ネット上でも結構な話題になっている。執念と言うよりも狂気に近い。しかし、話題になった割には動画内で言及されている高速なアルゴリズムを実装したという話を聞かなかったので、自分で確かめることにした。


動画のおねえさんは深さ優先探索によるプログラムを使っていると思われるが、それだとスパコンを使っても10×10マスの格子を解くのに25万年も掛かってしまう。そこで、高速化のためにゼロサプレス型二分決定グラフ(ZDD; Zero-Suppressed Binary Decision Diagram)と呼ばれるアルゴリズムを利用することにした。このアルゴリズムを開発したのは北大の湊先生で、ZDDによりすべての経路を見つけ出すアルゴリズムとしてクヌース先生のSIMPATHを使った。ZDDについてはクヌース先生も強い関心を持っていて、 The Art of Computer Programming Volume 4, Fascicle 1(TAOCP 4-1)ではBDD/ZDDの詳細な解説を読むことができる。演習問題の解説だけで書籍の半分を使っていることからしても気合の入れようがわかるだろう。

実際に自分のノートPCでZDDアルゴリズムを使ったコードを走らせたら、ほんの10秒程度で10×10マスの問題を解いてしまった。おねえさんがスパコンで25万年かかった問題をノートPCでたった10秒である。約8千億倍の高速化だ。これだけ劇的に変わるとやっぱり楽しい。そして、アルゴリズムの重要性を再認識させられた。

さて、以下におねえさんが利用したであろう自作の深さ優先探索(DFS)プログラムと高速な解法であるZDDアルゴリズムの両方を載せておく。ZDDについては4つのプログラムを1つのPythonスクリプトで統合している。これは、クヌース先生のSIMPATHおよびSIM…