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テトレーション・フラクタル

5年ほど前、このブログで 虚数のテトレーション という記事を書いたことがある。 テトレーション(tetration) とは、自らのべき乗を指定された回数反復する演算のことで、 n a と表現する。 3 5 の場合、5 5 5 = 1.911×10 2185 となる。Pythonの関数で表現すれば以下のようになる。 以前の記事では、 ∞ i が 0.43828+0.36059 i に収束することを見つけたのだが、今回はそれに関連したフラクタルについて紹介したい。 テトレーション n a の a には複素数を指定することができる。このとき、 a = x + yi として、それを複素平面に置く。ここで正の整数 n を大きくしていき、発散と判定された n に対応した色で平面を色分けする。発散しない場合、予め決めておいた n の上限値を使う。これで得られる図を テトレーション・フラクタル(tetration fractal) と呼ぶ。 n (x + yi) = a + bi としたとき、 n +1 (x + yi) = a' + b'i は以下のように計算できる。 Pythonでの実装は ActiveSate Code に Tetration Fractal として載っている。今回はこれを少し修正したコード、C++で書いたコード、更にTBBで並列化したコードを用意して、それらの実行速度のベンチマークを取ってみた。 Python C++ C++ with TBB 258.732秒 16.999秒 0.976秒 ここで、複素平面の領域は(-1.5, 0)-(-0.75, 0.75)であり、最大繰り返し数は256としている。画像の大きさは1,024×1,024とした。実行環境はIntel Xeon X5650の2CPUで、12コア・24スレッドとなっている。 以下に、ソースコードを示す。詳細についてはコードを読んでいただきたい。 Pythonによる実装: % ./tetration.py tetration.png -1.5 0.0 0.75 0.75 1024 1024 C++による実装: %