2007年6月25日月曜日

カオス - 新しい科学をつくる

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カオス―新しい科学をつくる」は15年も前に読んだ本なのだが、非常に面白かった。以前からマンデルブロ集合やローレンツアトラクタなどに興味を持っていたのだが、素人にもわかりやすく記述されており、世界にはなんて奇妙で不可思議な現象があるのだろうと素直に感じた。事実は小説より奇なりとはよく言ったものだ。こんなこと、事実を目の当たりにしなければ、到底信じられない。

例えば、x(next)=rx(1-x) という式がある。これは一見何の変哲もない式に見えるが、rのパラメータを変化させていき、xがどの値に落ち着くか観察してみるといい。とても奇妙な振る舞いが見られる。xの初期値を0.4としたとき、r=2.8ならばxの値は1つに落ち着くが、r=3.2だと2つ、r=3.5だと4つ、r=3.7だと無数になる。そうかと思えば、r=3.84だと3つに収束する。なんとも不思議だ。こういった予測できない振る舞いがカオスなのである。

上記のグラフはPython+matplotlibで描いたが、そのコードを書いておく。

from pylab import * def calc(r, x, n): values = [] f = lambda r, x: r * x * (1.0 - x) for i in xrange(n): x = f(r, x) values.append(x) return values if __name__ == "__main__": n = 1000 x = 0.4 for r in arange(2.8, 4.0, 0.001): plot([r for i in xrange(n-n//10)], calc(r, x, n)[n//10:], "b.", markersize=1) axis([2.8, 4.0, 0.0, 1.0]) text(2.9, 0.2, r"$x_\rm{next} = rx(1-x)$", fontsize=30) xlabel(r"$r$", fontsize=20) ylabel(r"$x$", fontsize=20) show()

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