2007年7月5日木曜日

虚数のテトレーション

このブログ記事をはてなブックマークに追加

虚数iの「ii乗」乗はテトレーション(tetration)として以下のように表すことができる。

3i = iii

で次のような計算を行ってみた。

i = 0.438282936727…+0.360592471871…i

実数部と虚数部は収束してそれぞれ0.43828…と0.36059…となる。

これって何か意味がある数なのか?

2 コメント:

匿名 さんのコメント...

この解をx+iyとすると、
xの値は、
x=exp{-(π/2)xtan(πx/2)}cos(πx/2)
を満たすもので、
yは
y=xtan(πx/2)
となります。
これは漸化式
Z_n+1=i^(Z_n)=exp(iπZ_n/2)
が極限を持つとして
Z_n+1=Z_n=x+iy
とおいて求められます。

nox さんのコメント...

とても分かりやすい解説をありがとうございます。思わず紙に書いて確認してしまいました。

なるほど、これらの値はこのように求められるのですね。勉強になりました。